Расчет пружин растяжения/сжатия

Пришлось мне на днях проводить расчет пружинки растяжения.

Нашел методику, посчитал... показались мне цифры стремными.
Усомнившись в методике, я взял первую попавшуюся под руку пружину, измерил её жесткость, и провел расчет по геометрическим размерам.
Разлет расчетного и измеренного значений меня шокировал - всего 10%. Короче, адекватность методики подтвердилась.

Решил поделиться, ибо считать несложно, а польза может в оппозитном деле.

Итак, начнем с данных, которыми придется оперировать:
d [мм] - диаметр проволоки, из которой навита пружина.
D [мм] - средний диаметр пружины (внешний диаметр минус диаметр проволоки).
n [-] - количество рабочих витков пружины.
t [МПа] - напряжение кручения. Нужно для проверки пружины на прочность.
[t] [МПа] - предел прочности материала. Для распространенных конструкционных сталей равен 200-1000 МПа.
G [Н/мм2] - модуль сдвига материала. Для нержавейки равен примерно 70000-80000 Н/мм2.
c [Н/мм] - жесткость пружины. Показывает, какую силу (в ньютонах) надо приложить чтобы сжать пружину на 1мм.
cn [-] - индекс пружины. Вспомогательная величина.
k [-] - коэффициент снижения прочности.
kз [-] - коэффициент запаса.
pi=3.14 - число Пи.
L [мм] - длина пружины.
f [мм] - деформация пружины.
F [Н] - осевое усилие (самой пружины или действующее на пружину).

При прочих равных индекс "0" обозначает начальное значение параметра, индекс "max" - максимальное значение.

Основные формулы:

0) f=dL=L0-L

1) c=F/f=F/dL=F/(L0-L)

2) с=(G*(d^4))/(8*n*(D^3))

3) cn=D/d

4) tmax=(8*k*F*D)/(pi*(d^3))

Из формулы (2) можно вывести формулу среднего диаметра пружины:

5) D=3rt{(G*(d^4))/(8*c*n)}
3rt{X} - корень 3й степени из Х.

Вот, собственно, все что нужно знать.
Давайте рассмотрим несколько примеров расчета.

Пример №1.

Имеем хрен-пойми-какую пружину следующих размеров:
d=5 мм
D=50 мм
n=20
L=150 мм

Хотим её использовать, например, для спрингера, но не знаем какую нагрузку она выдержит. Посчитаем жесткость.
Допустим, сделана железка из среднепружинистой стали с G=75000 Н/мм2.

с=(G*(d^4))/(8*n*(D^3))
с=(75000*(5^4))/(8*20*(50^3))=(75000*625)/(8*20*125000)=2,344 Н/мм

1 кг = 9,81 Н. Можно округлить до 10Н.
Получается, чтобы сжать пружину на 1мм нужно приложить усилие около 0,23 кг.

Длина пружины 150мм. Минимальная длина равна n*d=20*5=100мм.
То есть пружину можно сжать на 50мм.
Соответственно, максимальное усилие, которое обожмет пружину до упора составляет 11,5 кг. Нда, для спрингера маловато )

Проверим, выдержит ли пружинка такую нагрузку:
tmax=(8*k*F*D)/(pi*(d^3))
tmax=(8*1,14*117,2*50)/(3,14*(5^3))=136 МПа
До минимальных 200 МПа еще далеко. Т.е. хоть для наших целей пружина и не годится - использовать её до полного обжатия можно. Выкидывать пока не стоит, сгодится еще.

Два слова о величинах cn=D/d и k.
k зависит от отношения диаметра пружины и проволоки.
Ниже приведены значени, по которым можно построить аппроксимирующую кривую:

cn/k
4/1,37
5/1,29
6/1,24
8/1,17
10/1,14
12/1,11

Пример №2.

Пружина для спрингера нам все еще нужна. Найти готовую не удалось - надо заказывать.
Давайте посчитаем, какая пружина нам нужна.

Масса байка в полной загрузке 400 кг. На переднюю ось пусть приходится 170 кг например. Учитывая угол наклона 35 градусов, осевое усилие на пружину составит 170/cos35=208 кг. То есть 2040 Н.
Это номинал.
Допустим, нам нужно чтобы пружина обжималась до упора при двукратной перегрузке. Ну и пусть полный ход вдоль вилки составит 100 мм. На 50мм пружина сжимается при номинальной нагрузке и еще 50мм - для отработки неровностей.
Соответственно, потребная жесткость с=F/f=2040/50=40.8 Н/мм. Округлим до 41 Н/м. Полная деформация пружины должна составлять 100мм.

Ну давайте думать.
В профильных конторах обычно всякой проволоки есть. Пусть будет 8мм.

Дальше есть два пути. Можно задаться числом витков и определять диаметр, а можно наоборот. Давайте зададимся диаметром.
Понятно, но чем больше отношение cn=D/d - сем меньше жесткость; однако слишком малым это отношение тоже не должно быть. Меньше 4 - уже плохо.

Зададим D=40 мм.
Определим потребное количество рабочих витков:
n=(G*(d^4))/(8*c*(D^3))
n=(75000*(8^4))/(8*41*(40^3))=14,63 - можно округлить до 15.

Длина по виткам L=n*d=15*8=120 мм. Тогда чтобы иметь возможность обжаться на 100 мм начальная длина должна быть L0=L+dL=120+100=220 мм.

Проверим то что получилось на прочность при максимальном обжатии.
cn=40/8=5.0
k=1.29
F=4080 Н (2040 Н номинальной нагрузки + 2040 запас)

tmax=(8*k*F*D)/(pi*(d^3))
tmax=(8*1,29*4080*40)/(3,14*(8^3))=1047 МПа
Много. Нужна очень поездатая сталь, иначе на хорошей кочке пружинка может и лопнуть.

Тут приходится думать как снизить напряжение. Очевидно, для этого надо увеличивать диаметр проволоки d. При этом увеличится k (т.к. снизится отношение D/d), но d в знаменателе в кубе, так что в целом напряжение снизится.

Очередная итерация расчета. Пояснения я опущу, приведу только числа:
d=14 мм
D=60 мм
n=40.7 -> 41
L=41*14=574 мм
L0=676 мм
tmax=309 МПа
По прочности проходим, но длина получилась неадекватная.

Увеличим диаметр чтобы снизить число витков:

d=14 мм
D=80 мм
n=17,16 -> 17
L=17*14=238 мм
L0=338 мм
tmax=379 МПа
Ну вот, что-то такое. По прочности попадаем (если сталь адекватная, конечно) длина тоже условно-удовлетворительная.

Если построить такую пружинку, например, в Компасе - станет очевидно, что получилось вообще-то весьма симпатично.
Правда, для спрингера обычно пользуют две параллельные, а я одну посчитал ). Надо быть внимательнее.

Конечно, применять методику для расчета нулёвой пружины вряд ли кому придется. Разве что совсем диким маньякам, или тем, кому изготовить проще чем купить. Для большинства простых смертных проще поискать в продаже уже готовые, которые уже есть разных направлений навивки, типоразмера, цвета и запаха, с переменным шагом и т.д. и т.п.
Но вот для оценки параметров уже имеющейся в наличии железки - может пригодиться.

Общем, have a knife day. В смысле - пользуйте, ежели вдруг кому понадобится.

Использованный материал можно посмотреть здесь:
http://distance.net.ua/Russia/Sopromat/lekcia/razdel7/urok7.htm
http://www.alcomex.ru/tech-info-spring-calculation-1.html

Ну и напоследок несколько очевидностей:
Жесткость прямо пропорциональная:
- диаметру проволоки
Жесткость обратно пропорциональна:
- диаметру пружины
- числу витков